您现在的位置:冠军彩票>> 文章列表>> 教师风采>> 教学探究

例谈构建合适阶梯 培养数学思维品质

作者:李爱芳 来源:本站原创 发布时间:2016年09月08日
 

例谈构建合适阶梯 培养数学思维品质

李爱芳

    弗里德曼特别强调:“解题训练的心理学研究表明,学生在解题时不具备一般能力的基本原因,在于没有经常亲自动手进行分析,没有从中归纳出一般的运算方法及其理论根据。”[1]对于2016年的高考数学试题,大部分省都是用的全国一卷,总体来说,这份试题达到了为高等院校选拔优秀人才的作用。笔者作为教学第一线的中学数学教师,将其中的一道函数解答题作为训练学生解题能力时,总结了在教学实践中,如何让学生利用相关的数学基本知识,让学生亲自参与的情况下,提高学生解决数学问题的能力和培养学生的数学思维品质的一点点想法。

12016全国卷理科第21题)已知函数 有两个零点.

(I) 的取值范围;

   II)设 的两个零点,证明: .

    对于函数问题的解题方法,已经有了一般的通法,即先求原函数的导数,然后通过对导数的零点的讨论,根据零点的个数,确定对函数的定义域的分段区间,讨论每个区间上导数的值的符号,进而确定原函数在每个区间上的增减情况,得到原函数有可能的极值与最值,如果能够确定原函数的图像那就是最好的。从表面上看,这个问题是确定参数的取值范围和两个零点的关系,并且是函数与不等式的结合,感觉一般的通法不能解决,难度比较大的。从当年的统计数据来看,这个问题的得分情况不很乐观的。

    现在我们来分析一下这个问题与我们平时学习的函数问题的关系是否密切,是否还是在一般的通法能够解决的范围内,甚至从本质上来看,是不是考查的就是一般的通法呢?第一问是求参数 的取值范围,已知条件是原函数有两个零点,看起来二者之间没有明显的关系,于是分析函数的基本性质与零点的关系,构建第一个阶梯,求函数的单调性,也就是要求函数的导数;然后构建第二个阶梯,确定函数的极小值与极大值。这样就可以判断零点与参数 二者之间确实有很密切的关系。那么现在的问题就是如何由零点来讨论参数 ,因为参数的取值范围可以是全体实数,本来应该由参数 确定函数的基本性质,然后讨论函数的零点,可是这里恰好是反向的:零点是条件,确定参数 的取值范围是结论。很明显,出题者的意图之一就是考查逆向思维,但是本质上还是考查由参数 确定原函数的基本性质,由此,第三个阶梯,如何根据参数 的不同取值情况确定函数的基本性质。到此,第一个问题的解答过程就很明显了。主要的方向:由参数 到零点,零点作为判断条件确定参数的具体范围,当然由于参数 的范围没有限制,根据全体实数关于零对称的特点,对参数 从零开始讨论,恰好最终的结果是大于零。确实,就是一般的通法了,具体的解答过程就不叙述了。

本题第二问,要求证明如此简单的一个不等式成立,并且没有任何附加条件,信息量如此之少,无形中题目的难度加大了许多,如果学生对函数的基本性质没有非常深刻的认识,应该不知道从何处着手。可以说,这正是高考题的高明之处,也是魅力所在,感觉简单,就像能够做出来,但是不知道从哪里开始,下考场了,心里还有些不服气,认为只要有足够的时间肯定能够解决。其实这些都是错觉,考查学生的数学思维品质,在高考题中体现的是很明显的,对这个问题来说,如果学生没有真正掌握函数的基本性质,不具备真正的灵活应用函数的基本性质来解决与函数有关的问题解题能力,想得分是很难的。那么该从何处切入呢?笔者的想法是从结论开始,因为看不清题目的已知条件参数 与结论 的关系,或者说二者之间距离太遥远,并且从第一问来看,就像条件已经用完,对第二问没有作用,所以从结论开始讨论,构建第一个阶梯,不等式与函数的那些基本性质有密切的关系?答案是显然的,函数的单调性,不等式 中的组成部分 是零点,我们要清醒的认识到:本质上, 是函数的自变量的两个取值,相应的有两个函数值与之对应,但是 都在不等式的左边,而单调性的表现是自变量的大小与相应的函数值的大小的关系,构建第二个阶梯,如何分离 的位置,应用函数的单调性,比较适当的两个函数值,然后确定不等式成立,这里又是单调性的逆用,由函数值的大小来确定自变量的大小。到此,第二问的解题过程基本已经接近完成了。确实,就是一般的通法了。当然,其中对参数 的技巧处理,对学生来说,也是一个不小的难关。

    当然,仅仅停留在解决问题的构建阶梯过程,确定问题的本质还是考查函数的基本性质与一般的通法的应用,还是有些不足的。波利亚说:“认为解题纯粹是一种智能活动是错误的,决心与情绪所起的作用很重要,”他强调说:“教学生解题是意志的教育,当学生求解那些对他来说并不太容易的题目时,他学会了败而不馁,学会了赞赏微小的进展,学会了等待主要的念头,学会了当主要念头出现后全力以赴。如果学生在冠军彩票里没有机会尝试为求解而奋斗的喜怒哀乐,那么他的数学教育就在最重要的地方失败了。”[2]对这道高考题,笔者的问题是:第一问对第二问起了一个什么样的作用?作为2016年的高考题,确实起到了考查学生的数学思维品质与解决数学问题的能力的作用,起到了为高等院校选拔优秀人才的作用,效果还是很明显的。那么对以后的学生呢,如何应用这道高考题来培养学生的数学思维品质和提高解决数学问题的能力,能够起到什么样的作用,有多大的作用呢?如何来利用?特别是对学生学习数学的兴趣和学好数学信心的培养,以及数学问题本质的思考的自我意识的萌芽。因此,笔者做了一个尝试,将第一问去掉,题目变成:已知函数 有两个零点 ,证明: .这样做的原因是笔者认为第一问实质上是第二问的一个阶梯,猜想可能是出题者为了降低题目的难度设置的一个阶梯。所以,在平时的数学教学中,笔者搬走这个梯子,给学生充分的想象空间,给学生深刻理解函数的基本性质的机会,给学生一个动手具体感悟的机会,给学生充分体会数学解题实践的一个具体场合。当时的场景,只讨论这个改编的数学问题,一节课,整整45分钟,甚至说,要想完全体悟这个问题,还要进行深入的思考。只是对学生来说,挑战性强了,能够完整解决的学生数变少了,当笔者给出原高考题做比较时,学生学好数学的信心大增,基本达到了预期的效果。当然,要注意对教学对象的选择和教学时机的把握,也就是要注意因材施教。

在长期的教学实践中,多次听说教学是一门科学,教学是一门艺术,笔者总感觉这个说法有些抽象,有些高深莫测,笔者认为:教学就是教师的教与学生的学的一个相互作用,相互提高的一个具体的师生共同完成的学习过程。总的来说,学生数学思维品质的培养与数学解题能力的提高,是一个长期的教与学的过程,其中有教师的尽心尽力的教,还有学生的孜孜不倦的学。这里只是通过对一道高考题的理解与应用,提出解决相关的数学问题时,如何利用已知的条件、掌握的数学知识和要解决的结论,通过构建合适的阶梯来分析问题与解决问题的数学思维过程。

参考文献

[1][]弗里德曼.怎样学会解数学题.陈淑敏,尹世超译,黑龙江科学技术出版社,19815月第1.北京师范大学出版社,1988年,丁家泰,赵素兰译

[2][]波利亚.怎样解题.阎育苏译,科学出版社,19821月第1

 

 

点击数: 【字体: 收藏 打印文章 查看评论
相关信息
没有相关内容